À la suite des travaux effectués les années précédentes, nos sujets d'étude se centrent autour des axes suivants

 

Résolution de problèmes, démarche d'investigation et compétences complexes

En quoi la résolution de problèmes ouverts favorise-t-elle la mise en œuvre d'une démarche d'investigation ? La démarche d'investigation est recommandée dans les programmes de collège depuis 2005. Or le canevas préconisé pour ces démarches d'investigation présente de nombreuses analogies avec les différentes phases de la recherche collaborative d'un problème ouvert que l'on a pu mettre en évidence lors de nos expérimentations. La résolution de problèmes prend également une place importante dans les nouveaux programmes de seconde, qui incitent à étudier les mathématiques à partir de la résolution de problèmes.
    L'idée générale qui sous-tend le rôle central de la résolution de problèmes dans le curriculum mathématique est que « l'on apprend des mathématiques en résolvant des problèmes ». Nous nous intéressons d'une part à l'identification des compétences transversales complexes liées aux démarches de recherche, à l'argumentation et à la preuve, et, d'autre part, à des notions des programmes potentiellement et effectivement travaillées selon les niveaux (analyse a priori et analyse a posteriori).
      Proposer aux élèves une activité de recherche d’un problème ouvert vise la mise en œuvre de compétences spécifiques, souvent absentes des exercices traditionnels. Évaluer ces compétences est une tâche complexe pour plusieurs raisons :
  •  les élèves travaillent en groupes : comment percevoir la part du travail de chacun ?
  •  évaluer ces compétences ne peut se faire qu’en proposant un problème ouvert : doit-on proposer un problème ouvert lors d’une évaluation ?
  •  tous les problèmes ne mettent pas en jeu les mêmes compétences : quelles compétences sont liées au problème proposé et quels indicateurs retenir pour identifier sans ambigüité les compétences mises en œuvre ?
      Nous avons identifié, de manière sans doute non exhaustive, les compétences suivantes, spécifiques à l’activité de résolution de problèmes :
  1. Compétences mises en œuvre dans la phase de recherche :
    • Modéliser des objets par une représentation mathématique (identifier des possibles et expliciter ses choix)
    • Évaluer la cohérence d’un résultat et le confronter à la situation
    • Formuler un sous-problème ou un problème connexe
    • Explorer sur des exemples, des cas particuliers, réduire un problème en traitant des cas particuliers, faire des liens entre le particulier et le général
    • Organiser sa recherche et structurer les objets (présence de phases de synthèse)
    • Formuler des conjectures, les mettre à l’épreuve (sur les cas traités, sur d’autres cas, puis tenter de les démontrer)
    • Identifier les grandeurs pertinentes, les nommer et comprendre leur interdépendance
    • Savoir changer son fusil d’épaule, explorer de nouvelles pistes
    • Prendre l’initiative d’utiliser du matériel pertinent pour manipuler, un environnement informatique le cas échéant
    • Identifier et mobiliser les notions mathématiques potentiellement en lien avec une situation
    • Se prononcer sur le caractère de généralité des résultats, distinguer une conjecture d’un résultat établi, utiliser un exemple générique
  2. Compétences mises en œuvre dans la phase de restitution :

    • Concevoir un support clair (affiche, transparent, document numérique) utilisant des représentations pertinentes (tableaux, schémas, notations…)
    • S’exprimer avec précision pour présenter à la classe un travail individuel ou collectif et rendre compte fidèlement d’un travail
    • Écouter, questionner et donner un point de vue en respectant les règles du débat

 

Les énoncés de problèmes : notion de «fiction réaliste»

Quel type d'énoncé proposer pour faire comprendre aux élèves l'intérêt des mathématiques en dehors du seul cadre de la discipline (dans d'autres sciences ou sur des problèmes concrets) ? Quelles sont les situations réelles ou pseudo-réelles qui donnent lieu à des problèmes propices à une recherche collaborative ? Comment peut-on amener les élèves à problématiser ces situations, à choisir un modèle, à en changer ? Cette question est bien évidemment à mettre en relation avec les "thèmes de convergence" et avec "l'introduction aux disciplines scientifiques", mentionnés dans les programmes de collège et de lycée.

Nous faisons l’hypothèse qu’un problème posé dans le cadre d’une situation réelle ou réaliste favorise sa dévolution ; cette hypothèse est étayée par l’observation du travail des élèves en classe et par la teneur des échanges entre les classes, qui montrent que les élèves s’approprient le problème. Or, la mathématisation de problèmes issus de la réalité est généralement beaucoup trop complexe pour être proposée à des élèves de collège et de lycée dans le temps contraint de la classe. Ceci conduit souvent aux « problèmes concrets » proposés dans les manuels, dans lesquels le travail de mathématisation est pris en charge dans l’énoncé et pour lesquels aucune initiative n’est laissée à l’élève. Le dispositif de résolution collaboratif de problème donnant une place importante à l’objectif de mathématisation, nous avons été amenés à proposer des situations non mathématiques a priori, posées dans un contexte fictif mais réaliste, pour laquelle la recherche demande une mathématisation. Cette mathématisation peut renvoyer à un ou des problèmes mathématiques, les choix faits par les élèves pouvant faire émerger des problèmes connexes ou des variantes du problème mathématique dont nous visons la recherche. Nous qualifions de telles situations de « fictions réalistes ». En proposant de telles situations, nous voulons montrer un usage particulier des mathématiques, absent des manuels : la mathématisation d’une situation. La phase de mathématisation demande de faire des choix et de réfléchir aux relations entre objets mathématiques et objets réels. Nous faisons l’hypothèse que ce travail de mathématisation modifie la perception de cette discipline chez les élèves. Le traitement mathématique de cette fiction réaliste met en avant les aspects des mathématiques concernant les applications des mathématiques à d’autres champs de la connaissance humaine, qui sont habituellement peu travaillées dans les classes : les relations dialectiques entre objets réels et objets mathématiques, la fonction d’aide à la décision : résoudre un problème, même partiellement, permet d’anticiper des résultats sans avoir à effectuer les actions dans le monde réel, résultats qui peuvent être confrontés à la situation de la fiction réaliste, avec un retour éventuel sur les choix mathématiques initiaux. Enfin, proposer un énoncé original ou un problème mathématique sous la forme d’une fiction réaliste inédite met notre dispositif à l’abri des solutions existant sur Internet, ce qui est important compte tenu de notre dispositif.

 

 

 

Les modifications engendrées par le dispositif de résolution collaborative

Quels sont les changements de postures induits par ces pratiques : changements de posture des élèves d'une part et des enseignants d'autre part ? Quels sont les effets de ces changements de posture ? Il faut noter que ces changements dus au travail collaboratif se situent à deux niveaux : à l’intérieur des classes et entre les enseignants impliqués dans cette démarche. Pour les élèves, ce dispositif vise
    • à faire évoluer le regard qu'ils portent sur les relations entre les mathématiques et la réalité dans un sens large (situation concrète, autres disciplines, dialectique outil/objet et changement de cadres : géométrique/numérique, numérique/algébrique),
    • à permettre d'identifier que l'activité mathématique de résolution de problème consiste en un va et vient entre situation initiale, exploration du problème, désignation des objets ou des grandeurs pertinentes, identification de propriétés et de relations vérifiées par ces objets ou ces grandeurs permettant d'établir les énoncés vrais sur lesquels appuyer le raisonnement, élaboration de conjectures, mises à l'épreuve des conjectures, recherche d'une preuve ou de contre-exemples, retour au problème initial,
    • à développer la capacité à mobiliser des savoirs non désignés dans la situation en prenant en compte les résultats des actions conduites dans la phase d'exploration.
Pour les enseignants, ce dispositif vise à faire évoluer les pratiques
    • en mettant en avant l’importance de la démarche d’investigation et des démarches expérimentales,
    • en incitant à mettre en place avec les élèves un contrat didactique différent du contrat habituel de la classe les incitant à une plus grande prise d’initiative, en invitant à avoir un regard réflexif sur ses propres pratiques enseignantes.