La démonstration

Fiche Professeur

Programme officiel

 

Contenus

- Raisonnement mathématique
- Fonctions : développer, factoriser des expressions algébriques simples, résolution graphique et algébrique d'équations
- Approfondissement de la connaissance des différents types de nombre : irrationalité de la racine carrée de 2, valeurs approchées
- Géométrie : étude d'un problème d'alignement

 

Objectifs

Former les élèves à la démarche scientifique sous toutes ses formes pour les rendre capable de :
• conduire un raisonnement, une démonstration
• faire une analyse critique d'un résultat, d'une démarche
• communiquer à l'écrit et à l'oral


La diversité des activités mathématiques proposées doit permettre aux élèves de prendre conscience de la richesse et de la variété de la démarche mathématique et de la situer au sein de l'activité scientifique.

 

Commentaires

L'acquisition de techniques est indispensable, mais elle doit être mise au service de la pratique du raisonnement qui est la base de l'activité mathématique des élèves. Le développement de l'argumentation et l'entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée. Les concepts et méthodes de la logique mathématique ne doivent pas faire l'objet de cours spécifiques mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme. A l'issue de la seconde, l'élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant.

 

Prérequis

• maîtrise du calcul algébrique élémentaire

• fonctions et courbes représentatives, résolution graphique et algébrique d'équations

• géométrie dans le plan : définition et propriétés caractéristiques des figures de base, aptitudes à la rédaction d'une démonstration de géométrie selon les exigences du collège

 

 

Intérêt

Comme l'exprime Nicolas Bourbaki au début des Éléments de Mathématiques : « depuis les grecs, qui dit mathématique dit démonstration ». Il va sans dire qu'une telle phrase met l'accent sur l'aspect formalisé et déductif des mathématiques telles qu'elles apparaissent dans les écrits des mathématiciens depuis Euclide. Ce qui n'est pas sans contraster avec la « logique de la découverte mathématique »5 qui laisse place à d'autres méthodes, à des heuristiques et des raisonnements de type analogique ou inductif. La pratique pédagogique des démarches mathématiques en classe n'échappe pas à ce dilemme : d'une part laisser bonne place à l'expérimentation, à l'expression de la créativité, tout en conservant la rigueur de la preuve mathématique dans la formalisation du résultat et l'établissement des vérités mathématiques. Or « l'écriture formalisée d'une démonstration ne prend du sens que lorsque les élèves ont bien compris les différents statuts d'un énoncé, la notion d'implication (et qu'ils ont trouvé une piste pour la résolution) »
(ÉduSCOL juillet 2009). Le document de collège ÉduSCOL (juin et juillet 2009) apporte des pistes : « on cherche à comparer l'argumentation en mathématiques et l'argumentation dans la vie courante ou dans d'autres disciplines. Persuader, convaincre en mathématique, ne vient pas de la force de conviction : cela n'a pas de sens en mathématiques. Il faut identifier les arguments qui ont légitimité en mathématiques ». Ou encore : « C'est en travaillant, par exemple, des situations construites sur des doutes visuels que l'élève comprendra les nouvelles règles du jeu impliquées par les situations de preuve en géométrie ». La difficulté apparaît en effet de plein fouet dans le cadre de l'apprentissage du raisonnement géométrique. ÉduSCOL nous met en garde : « les énoncés ne doivent pas être systématiquement donnés sous une forme fermée : « montrer que » suivie d'une propriété apparaissant aux élèves aussi évidente que les hypothèses. L'activité géométrique devient alors pour eux un jeu incompréhensible et stérile ». Ou encore : « ce n'est pas en étant confronté à des situations d'une grande pauvreté que l'on peut appréhender vraiment la nécessité d'une preuve, ni d'ailleurs en résolvant de manière répétitive des exercices types ». Le but de cette ressource est justement de remédier à ce manque de sens en n'évinçant pas le questionnement épistémologique : qu'est-ce que démontrer en mathématique par rapport aux autres types d'argumentation ? Pourquoi a-t-on instauré ces règles du jeu ? Notre parti  pris est de chercher des éléments de réponse dans des textes empruntés à l'histoire et à la philosophie des  mathématiques. L'historien nous apprend que la démonstration mathématique est apparue en tant que type particulier de preuve avec les traités grecs de géométrie (Euclide). L'instauration par les Grecs de la primauté de la raison dans un contexte socio-politique particulier (la démocratie) est donc une cause de cette apparition externe aux mathématiques. Des causes internes, de nature davantage épistémologique, sont à voir dans la résolution de problèmes tels que les questions d'incommensurabilité qui ne peuvent être traités avec les méthodes antérieures (recours à des figures, découpages) : en effet, un résultat d'inexistence ne peut être l'objet d'une construction de figure (il va nécessiter un raisonnement par l'absurde). Le recours à des mesures empiriques fait dire à Aristote « qu'il semble en effet étonnant à tout le monde qu'une quantité donnée ne puisse être mesurée, même par l'unité minima ». L'existence de nombres irrationnels est donc contraire à l'intuition des mathématiciens grecques et s'oppose à leur conception philosophico-mathématique du nombre. Afin de dépasser cet obstacle, il apparaît comme nécessaire de s'affranchir de la figure et de faire usage exclusif de la raison sur des objets définis abstraitement en tant qu'idéalités. Cette démarche est en relation avec leur conception philosophique de la vérité conçue comme dévoilement du réel pour accéder à « l'essence des choses ». Il en résulte l'établissement des mathématiques comme science hypothético-déductive. Si l'on veut recréer en classe les conditions d'émergence historique de la démonstration, il s'agit donc que cette dernière apparaisse comme un outil indispensable à la résolution d'un problème. Une première étape est la mise en doute de l'appel à la figure comme preuve valide. C'est un des objectifs de l'activité 1 qui pose un certain nombre de situations problèmes composées d'un énoncé et d'une argumentation qu'il s'agit d'analyser et d'évaluer selon le critère démonstratif (préalablement clarifié grâce au dictionnaire en opposant les verbes montrer et démontrer). L'activité 2 consiste en l'étude de textes historiques confrontant les mathématiques égyptiennes et babyloniennes pré-démonstratives aux mathématiques grecques. L'idée est donc de vivre cette rupture épistémologique dans le contexte historique où elle s'est produite. On aurait pu également créer une situation-problème plus élémentaire qui provoque le même effet de nécessité interne du recours à la démonstration et remplacer les raisons externes et philosophiques de l'apparition de la démonstration par l'autorité seule du professeur qui définit les normes et le contexte. Cela nous paraît réducteur, le  recours à l'histoire offrant de plus la possibilité d'humaniser par la même occasion la pratique mathématique en la replaçant comme une activité humaine. Ce n'est pas sans difficultés ! Il est naïf en effet de penser que l'histoire des mathématiques facilite l'enseignement des mathématiques. Pour en tirer profit, un travail de mise en perspective et des artifices didactiques sont souvent nécessaires. Par exemple, il s'agit de motiver la restriction aux rapports d'entiers pour que des élèves habitués à la manipulation des nombres décimaux s'approprient la problématique des grecs. La  question de l'incommensurabilité en géométrie ou de l'irrationalité en arithmétique est assez technique, ce qui rend la démonstration d'Euclide difficile d'accès. Cette ressource propose des scénarios adaptés qui ont été testés en classe. Enfin, l'élève est amené dans l'activité 3 à rédiger lui-même une démonstration de géométrie dans le plan, selon les  canons de la rigueur et fort de sa connaissance des tenants et des aboutissants. C'est l'occasion d'apporter le chaînon  manquant, c'est-à-dire de remonter jusqu'aux axiomes posés par Euclide, ce qui n'est jamais fait dans le cours  classique de géométrie, et de définir le statut des divers énoncés (définition, propriétés, propositions, théorèmes) et  leurs connexions logiques au sein de la chaîne des raisons. En d'autres termes, de détailler et réaliser pleinement la  structure axiomatique d'une théorie mathématique. En guise de conclusion, citons quelques mots de la préface de  Michel Blay à l'ouvrage collectif « La mathématique : Volume 1, Les lieux et les temps » paru à CNRS Editions en 2009 : Il  convient, en conséquence, dans l'enseignement, de revenir à ce qui constitue et a, depuis des siècles, constitué le  principal apport des mathématiques : enseigner que toute affirmation doit être démontrée pour être partagée. C'est à  cette condition que peut s'instaurer, dans l'histoire, la liberté de chacun et l'émancipation de tous. Il ne suffit pas de  critiquer, de dire que l'on n'est pas d'accord, encore faut-il prouver et démontrer. Les mathématiques apprennent à viser  la connaissance et la vérité dans l'exigence démonstrative et en cela indiquent le sens d'une certaine ascèse  intellectuelle bien éloignée du jeu des beaux parleurs remplissant les médias et la politique.