La démonstration

Fiche d'identification

Discipline scientifique : Mathématiques

Thème : La démonstration

Niveau : Classe de seconde

 

Cadre

 

Notions scientifiques travaillées

- apprentissage de la logique et du raisonnement : implication, contraposée, raisonnement par disjonction de cas, par l'absurde, négation d'une propriété universelle

- nombres rationnels, irrationnels, irrationalité de la racine carrée de 2
- géométrie dans le plan : définition, propriétés, axiomes, élaboration d'une démonstration
- calcul numérique et algébrique

 

Notions épistémologiques de référence

- argumentation, raisonnement, preuve

- démonstration mathématique

- induction, déduction

- vérité d'une assertion mathématique, validité d'une argumentation

- idéalité des objets mathématiques

- rigueur en mathématique

- structure axiomatique des théories mathématiques

 

 


 

 

Objectifs

 

Compétences épistémologiques

- savoir repérer et caractériser une démonstration mathématique
- savoir distinguer induction et déduction
- avoir conscience de l'historicité des mathématiques et connaître notamment des raisons à l'apparition de l'exigence
démonstrative en mathématique
- savoir que la vérité en mathématique est fondée sur la logique et le raisonnement déductif
- avoir conscience de la structure axiomatique d'une théorie mathématique

 

Compétences transversales

- entendre l'argumentation de l'autre, être capable de la réfuter par une argumentation raisonnée logique

 

 

Modalités pratiques de déroulement

 

Durée

activité 1 : 3 h
activité 2 : 3 h
activité 3 : 1 h

 

Équipement spécifique

aucun

 

Dispositifs pédagogiques

En classe, en classe par petits groupes, une partie en devoir
à la maison

 

Description de l'activité

Cette ressource questionne la nécessité, la nature et les conditions d'émergence dans l'histoire de la forme particulière de preuve que constitue la démonstration mathématique. A travers des documents historiques (tablettes, papyrus) qu'il s'agit de s'approprier (décoder et traduire dans le formalisme contemporain dont on perçoit de fait toute la puissance), on étudie le passage du « montrer » au « démontrer » en comparant les mathématiques babyloniennes et égyptiennes avec les mathématiques grecques (notamment la démonstration par Euclide de l'irrationalité de la racine carrée de deux). Remonter la « chaîne des raisons » conduit à la notion d'axiome ; le questionnement des axiomes de la géométrie peut se prolonger jusqu'à l'émergence des géométries non euclidiennes.

 

Fichiers de la ressource

Texte dans le volet.

 

Mots-clés

démonstration, histoire des mathématiques, épistémologie des mathématiques, géométrie, logique, irrationalité de la
racine carrée de 2

 

Auteurs

Bernadette Rumeau, Thomas Hausberger et l'équipe IREM Sciences